Prawdopodobieństwo

Wprowadzenie

Prawdopodobieństwo mówi nam jaka jest szansa na to, że coś się wydarzy. Obliczamy je jako ułamek, dzieląc liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich sposobów, jakie mogą się wydarzyć.

\[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \]

gdzie:

  • \( |A| \) - Liczba zdarzeń sprzyjających
  • \(|\Omega|\)- Liczba wszystkich możliwych zdarzeń

Prawdopodobieństwo możemy zapisać jako:

  • ułamek zwykły, np: \( \frac{1}{4} \)
  • ułamek dziesiętny, np: \(0,25\)
  • procent, np: \( 25\% \)

Zdarzenie sprzyjające to takie, dla którego chcemy obliczyć prawdopodobieństwo. Potocznie nazywamy je sukcesem. Zdarzenia oznaczamy wielką literą. W ten sposób zapisujemy, czego prawdopodobieństwo obliczamy.

Moc zbioru to to liczba elementów zbioru. Oznaczamy ją symbolem \( | ... | \).

\( \Omega \) (omega) to zbiór wszystkich zdarzeń, które mogą się wydarzyć.

\( | \Omega | \) to liczba wszystkich zdarzeń, które mogą się wydarzyć.

Przykład 1

Rzucamy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie parzysta liczba oczek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie nieparzysta liczba oczek?

Nazwijmy sobie dwa zdarzenia:

\( A \) - wypadnie liczba parzysta

\( B \) - wypadnie liczba nieparzysta

Mając nazwane zdarzenia, możemy napisać prawdopodobieństwa:

\( P(A) \) - prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba parzysta

\( P(B) \) - prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba nieparzysta

Dla ułatwienia wypiszmy sobie zbiory \( A \) i \( B \):

\( A = \{2, 4, 6\} \) - zbiór liczb parzystych

\( B = \{1, 3, 5\} \) - zbiór liczb nieparzystych

Zapiszmy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń:

\( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) - wszystkie liczby, które mogą wypaść

Zapiszmy teraz moce zbiorów:

\( |A| = 3 \) - mamy 3 liczby parzyste

\( |B| = 3 \) - mamy 3 liczby nieparzyste

\( |\Omega| = 6 \) - mamy 6 liczb, które mogą wypaść

Obliczmy nasze prawdopodobieństwa:

\[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

\[ P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Odp: Prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba parzysta wynosi \( \frac{1}{2} \). Prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba nieparzysta też wynosi \( \frac{1}{2} \).