Ciągi
7.	Ciągi
7.1	Wprowadzenie
Wprowadzenie. Czym jest ciąg?
7.2	Ciąg arytmetyczny
Definicja ciągu arytmetrycznego
7.3	Ciąg geometryczny
Definicja ciągu geometrycznego

Ciąg arytmetryczny

Wprowadzenie

Ciąg arytmetryczny to ciąg, w którym mamy stałą różnicę \(r\). Czyli każdy kolejny wyraz możemy zapisać jako poprzedni zwiększony o r. Możemy zapisać, że:

\[ \large a_{n+1} = a_n + r \]

gdzie \( n \geq 0 \). Z tego wynika, dla dwóch kolejnych wyrazów mamy stałą różnicę:

\[ \large a_{n+1} - a_n = r \]

To bardzo ważne spostrzeżenie, bardzo często będziemy je wykorzystywać.

Wzór ogólny

na n-ty wyraz ciągu arytmetrycznego:

\[ \large a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \]

Skąd się bierze \( n-1 \)? Jeśli chcemy obliczyć drugi wyraz, musimy dodać do pierwszego wyrazu jedną różnicę. Jeśli chcemy obliczyć trzeci wyraz, musimy dodać dwie różnice. Zawsze dodajemy o jedną różnicę mniej, niż wynosi numer wyrazu.

Sprawdzając, czy ciąg jest ciągiem arytmetrycznym polega na odjęciu dwóch kolejnych wyrazów i sprawdzeniu, czy ich różnica jest stała.

Przykład 1

Sprawdź, czy ciąg o wzorze \( a_n = 3n \) jest ciągiem arytmetrycznym.

Rozwiązanie:

\( a_{n+1} = 3(n+1) = 3n + 3 \)

\( a_{n+1} - a_n = 3n + 3 - 3n = 3 \)

Odp: Tak, ponieważ różnica jest stała (nie zależy od \(n\)).

Przykład 2

Sprawdź, czy ciąg o wzorze \( b_n = 2^n \) jest ciągiem arytmetrycznym.

Rozwiązanie:

\( b_{n+1} = 2^{n+1} = 2^n \cdot 2^1 \) \( = 2 \cdot 2^n \)

\( b_{n+1} - b_n = 2 \cdot 2^n - 2^n \) \( = 2^n \cdot ( 2 - 1) \) \( = 2^n \)

Odp: Nie, ponieważ różnica nie jest stała (zależy od \(n\) ).