Ciągi
7.	Ciągi
7.1	Wprowadzenie
Wprowadzenie. Czym jest ciąg?
7.2	Ciąg arytmetyczny
Definicja ciągu arytmetrycznego
7.3	Ciąg geometryczny
Definicja ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny

Wprowadzenie

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym mamy stały iloczyn \(q\). Czyli każdy kolejny wyraz możemy zapisać jako poprzedni razy q. Możemy zapisać, że:

\[ \large a_{n+1} = a_n \cdot q \]

gdzie \( n \geq 0 \). Z tego wynika, dla dwóch kolejnych wyrazów mamy stały iloraz:

\[ \large \frac{a_{n+1}}{a_n} = q \]

To bardzo ważne spostrzeżenie, bardzo często będziemy je wykorzystywać.

Wzór ogólny

na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

\[ \large a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]

Skąd się bierze \( n-1 \)? Jeśli chcemy obliczyć drugi wyraz, musimy pomnożyć pierwszy wyraz jeden raz razy q. Jeśli chcemy trzeci wyraz, musimy pomnożyć pierwszy wyraz dwa razy razy q. I tak dalej. Zawsze mnożymy jeden raz mniej, niż numer wyrazu.

Sprawdzając, czy ciąg jest ciągiem geometrycznym polega na podzieleniu dwóch kolejnych wyrazów i sprawdzeniu, czy ich iloraz jest stały.

Przykład 1

Sprawdź, czy ciąg o wzorze \( a_n = 2^n \) jest ciągiem geometrycznym.

Rozwiązanie:

\( a_{n+1} = 2^{n+1} = 2^n \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^n \)

\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2 \cdot 2^n}{2^n} = 2 \)

Odp: Tak, ponieważ iloraz jest stały (nie zależy od \(n\)).

Przykład 2

Sprawdź, czy ciąg o wzorze \( b_n = 3n \) jest ciągiem geometrycznym.

Rozwiązanie:

\( b_{n+1} = 3(n+1) = 3n + 3 \)

\( \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3n + 3}{3n} = \frac{3n}{3n} + \frac{3}{3n} \) \( = 1 + \frac{1}{n} \)

Odp: Nie, ponieważ iloraz nie jest stały (zależy od \(n\) ).