Dowodzenie podzielności, zadania CKE - Matematyka, Poziom podstawowy

Zadanie 3. (2 pkt) [Maj 2023 – matura CKE]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \( n \ge 1 \) liczba \( \left(2n+1\right)^2-1 \) jest podzielna przez \( 8\).

Wskazówka

1. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: \[ \left(a+b\right)^2 = a^2 +2ab + b^2 \] 2. Uporządkuj wyrażenia algebraiczne.
3. Wyciągnij przed nawias.
4. Ważne: iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty.
5. Pamiętaj o komentarzu.

Rozwiązanie

\[ \left(2n+1\right)^2-1 =\] \[ = 4n^2 + 4n + 1 -1 = 4n^2 + 4n = \] \[ = 4n\left(n+1\right) \]

Ponieważ \( n \) i \( n +1 \) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą parzystą.
Z tego wynika, że \( n\left(n+1\right) \) jest podzielne przez \( 2 \).
To znaczy, że \( 4n\left(n+1\right) \) jest podzielne przez \( 8 \).

Zadanie 3. (2 pkt) [Maj 2024 – matura CKE]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \( n \ge 1 \) liczba \( n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2 \) przy dzieleniu przez \( 3 \) daje resztę \( 2 \).

Wskazówka

1. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: \[ \left(a+b\right)^2 = a^2 +2ab + b^2 \] 2. Uporządkuj wyrażenia algebraiczne.
3. Zauważ, że \( 5 = 3 + 2 \).
4. Wyciągnij przed nawias.
5. Pamiętaj o komentarzu.

Rozwiązanie

\[ n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2 =\] \[ = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = \] \[ = 3n^2 + 6n + 5 = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = \] \[ = 3\left( n^2 + 2n + 1\right) +2 \]

Ponieważ \( n \) jest liczbą naturalną, więc \( n^2 + 2n + 1 \) jest liczbą naturalną.
Z tego wynika, że \( 3\left( n^2 + 2n + 1\right) \) jest wielokrotnością liczby \(3 \).
To znaczy, że \( 3\left( n^2 + 2n + 1\right) +2 \) przy dzieleniu przez \( 3 \) daje resztę \( 2 \).