Wskazówka

Mnożenie pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek z mnożenia: \[ \sqrt[3]{a} \cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a \cdot b} \] \[ \sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}= \sqrt[3]{ \boxed{\phantom{ - \frac{27}{16}}} \cdot \boxed{\phantom{2}}} \]

Później przyda Ci się, że pierwiastek z ułamka to ułamek z pierwiastkami: \[ \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \] \[ \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}= - \frac{ \sqrt[3]{\boxed{\phantom{27}}} }{ \sqrt[3]{\boxed{\phantom{8}}} } \]

Na koniec pamietaj o minusie. Musimy pomnożyć trzy liczby ujemne, żeby wyszła nam liczba ujemna.

Pokaż/Ukryj liczby

Zamknij

Rozwiązanie

\[ \sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot2}= \] \[ =\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]8}=-\frac32 \]

Zamknij

Wskazówka

Jeśli w potędze są ułamki, wszystkie wzory działają jak zawsze. Zdecyduj się na liczenie używając ułamków zwykłych i liczb mieszanych: \[3^{\:-2,4}=3^{\:\boxed{\phantom{ - \frac{24}{10}}}} \] albo ułamków dziesiętnych: \[3^{\frac25}=3^{\:\boxed{\phantom{0,4}}} \]

Pokaż/Ukryj liczby

Zamknij

Rozwiązanie

\[\left(3^{\:-2,4}\cdot3^{\frac25}\right)^{\frac12}=\left(3^{-2,4}\cdot3^{0,4}\right)^{\frac12}=\left(3^{-2,4+0,4}\right)^{\frac12}= \] \[ =\left(3^{-2}\right)^{\frac12}=3^{-2\cdot\frac12}=3^{-1}=\frac13 \]

Zamknij

Wskazówka

Przyda Ci się wzór: \[ \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\:\cdot\: s} \] Pamiętaj też, że potęga ujemna, oznacza odwrotność (dla \( a \neq 0 \) ): \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \] Czyli w naszym przypadku: \[\left(\frac{1}{16}\right)^8 = \left(2^{\:\boxed{\phantom{-4}}}\right)^8 = 2^ {\:\boxed{\phantom{-4}}\: \cdot\: \boxed{\phantom{8}}} =2^ {\:\boxed{\phantom{-32}}} \]

Pokaż/Ukryj liczby

Zamknij

Rozwiązanie

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}=\left(2^{-4}\right)^8\cdot\left(2^3\right)^{16}=\] \[=2^{\left(-4\right)\cdot8}\cdot2^{3\cdot16}=2^{-32}\cdot2^{48}=2^{\left(-32\right)+48}=2^{16}\] Zamknij

Wskazówka

Przyda Ci się wzór: \[ \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\:\cdot\: s} \] To, że w przykładzie mamy ułamek w potędze nic nie zmienia. \[ 32^{\tfrac{3}{5}} = \left( 2^{\: \boxed{\phantom{5}}} \right)^{\tfrac{3}{5}} = 2^{\: \boxed{\phantom{5}} \: \cdot \: \boxed{\phantom{\tfrac{3}{5}}}} = 2^{\: \boxed{\phantom{3}}} \]

Pokaż/Ukryj liczby

Zamknij

Rozwiązanie

\[2^{-1}\cdot 32^{\frac35}=2^{-1}\cdot\left(2^5\right)^{\frac35}= \] \[ =2^{-1}\cdot2^{5 \: \cdot \: \frac35}=2^{-1}\cdot2^3=2^{-1+3}=2^2=4\]

Zamknij

Wskazówka

Potęga ujemna, oznacza odwrotność (dla \( a \neq 0 \) ): \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n} \] Pamiętaj, że potęga z ułamkiem oznacza pierwiastek (dla \( a \ge 0 \) ): \[ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \] Ponieważ nie musimy pisać, że pierwiastek jest drugiego stopnia, więc: \[ a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} \]

czyli: \[ \left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5}=\left(\frac{\boxed{\phantom{25}}}{\boxed{\phantom{4}}}\right)^{0,5}=\left(\frac{\boxed{\phantom{25}}}{\boxed{\phantom{4}}}\right)^{\frac12} = \sqrt \frac{\boxed{\phantom{25}}}{\boxed{\phantom{4}}}\]

Pokaż/Ukryj liczby

Zamknij

Rozwiązanie

\[ \left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5}=\left(\frac{25}{4}\right)^{0,5}=\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac12}= \] \[ =\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt4}=\frac52=2,5\]

Zamknij

Wskazówka

Pierwiastek oznacza potęgę z ułamkiem (dla \( a \ge 0 \) ): \[ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \] czyli: \[ \sqrt[5]{5} = 5^{\: \boxed{\phantom{\frac{1}{5}}}} \]

Ułamek oznacza potęgę z minusem: \[ \frac{1}{a} = a^{-1} \] czyli: \[ \frac{1}{5} = 5^{\: \boxed{\phantom{-1}}} \]

Pokaż/Ukryj liczby

Zamknij

Rozwiązanie

\[ \left(\sqrt[5]{5}\cdot\frac15\right)^{-5}=\left(5^{\frac15}\cdot5^{-1}\right)^{-5}=\left(5^{\frac15-1}\right)^{-5}= \] \[ = \left(5^{-\frac45}\right)^{-5}=5^{-\frac45\cdot\left(-5\right)}=5^4 \]

Zamknij