Ogległość punktów w układzie współrzędnych

Wzór

Odległość między punktami \( A = (x_A, y_A) \) i \( B = (x_B, y_B) \) możemy obliczyć ze wzoru:

\[ \large |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Wyjaśnienie wzoru

Czy musimy go zapamiętać? Całe szczęście nie. Zapomnijmy na chwilę o układzie współrzędnych i współrzędnych punktów \( A \) i \( B \). Największą zaletą kartezjańskiego układu współrzędnych jest to, że zawsze możemy narysować trójkąt prostokątny. A co oznacza trójkąt prostokątny? Twierdzenie Pitagorasa!!!

\[ \large c^2 = a^2 + b^2 \]

Teraz spójrzmy na nasz trójkąt. W nim odcinek \( c \) jest długością odcinka AB:

\[ \large c = |AB| \]

Podstawiamy:

\[ \large |AB|^2 = a^2 + b^2 \]

Teraz zastanówmy się, skąd wziąć długości odcinków \( a \) i \( b \). Teraz przydadzą nam się współrzędne punktów. Zacznijmy od współrzędnych na osi OX.

Długość odcinka \( a \) to różnica współrzędnych: \[ \large a = x_B - x_A \]

Analogicznie obliczymy długość odcinka \( b \), tym razem używając współrzędnych na osi OY: \[ \large b = y_B - y_A \]

W tym momencie od razu powiem, nie przejmuj się, co się stanie w przypadku, gdy punkt B będzie po lewo od punktu A. Podnoszenie do kwadratu sprawi, że nie musisz się przejmować, gdyby w tym momencie \( a \) albo \( b \) byłyby ujemne.

Podstawiamy do równania i otrzymujemy: \[ \large |AB|^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 \]

Teraz zostaje nam tylko spierwiastkować strony. Pamiętaj, długość odcinka \( |AB| \) jest zawsze wartością dodatnią, więc nie musisz przejmować się ujemnym wynikiem pierwiastkowania stronami.

Ostatecznie mamy wzór w postaci: \[ \large |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Nie musisz zapamiętywać tego wzoru, zawsze możesz obliczyć długość krok po kroku, pamiętając tylko o twierdzeniu Pitagorasa.